#01 2023 Compléments mathématiques pour l'électromagnétisme

Description

Le passage de la théorie intégrale de l'électrostatique et de la magnéto-statique telle que vous la connaissez du cours de première année (théorèmes de Gauss et d'Ampère par exemple) nécessite cependant l'introduction de quelques notions mathématiques. Le formalisme permet d'exprimer sur le même pied électrostatique, magnéto-statique, et induction, et pour assurer la cohérence du système d'équations obtenu amène à introduire le terme correctif qui permit la prédiction des ondes électromagnétiques qui fut ensuite, une trentaine d'années après, confirmée expérimentalement par Hertz en 1882.

L’électromagnétisme est le domaine de la physique qui s’intéresse à l’ensemble des phénomènes électriques et des phénomènes magnétiques. Ses lois généralisent celles de l’électrostatique et de la magnétostatique qui décrivent le champ électrique E et le champ magnétique B dans des situations où ces champs sont statiques, c’est-à-dire ne dépendent pas du temps. Lorsqu’ils en dépendent, de nouveaux phénomènes physiques se manifestent. En particulier, la variation temporelle d’un champ magnétique agit comme une source de champ électrique. C’est le phénomène d’induction électromagnétique. De même, la variation temporelle d’un champ électrique fait apparaître un champ magnétique.

L’électromagnétisme a pour objet l’étude de ces effets. On regroupe aussi dans ce domaine les phénomènes de conduction électrique. L’électromagnétisme est fondé sur les équations de Maxwell, un ensemble de quatre équations décrivant le champ magnétique et le champ électrique. Ces équations s’écrivent avec des opérateurs vectoriels, des objets mathématiques qui peuvent sembler effrayants à première vue mais qu’il convient de ne considérer que comme des outils mathématiques comme les autres. Le premier chapitre est consacré à la description de ces opérateurs vectoriels et au rappel de certaines de leurs propriétés. Ces équations furent écrites pour la première fois sous leur forme complète en 1861 par James Maxwell (1831–1879). La première conséquence fondamentale fut la prédiction de l’existence puis la découverte d’un nouveau type d’ondes, dans lesquelles un champ électrique et un champ magnétique évoluent de façon couplée. On les appelle des ondes électromagnétiques. Leur existence fut prouvée expérimentalement en 1887 par Heinrich Hertz (1857–1894) qui les produisit, les détecta et étudia leurs propriétés. Les ondes électromagnétiques sont omniprésentes autour de nous, elles sont utilisées dans tous les modes de télécommunication moderne. Il fut rapidement établi que la lumière est une onde électromagnétique, correspondant à une gamme de longueurs d’onde bien précise.

L’optique peut dès lors s’étudier dans le cadre de l’électromagnétisme, ce qui permet de décrire quantitativement certaines propriétés de la lumière comme l’intensité lumineuse ou la polarisation. Nous n’aborderons pas la spécificité des ondes lumineuses dans cet ouvrage et nous renvoyons le lecteur au « Mémento d’optique ondulatoire », publié dans la même collection. L’électromagnétisme permet aussi de comprendre les phénomènes associés aux circuits électriques et électroniques que l’on regroupe souvent sous le terme « électrocinétique » : courant électrique, relation avec la tennsion, etc. Nous reviendrons sur les propriétés du champ électromagnétique nécessaires pour aborder l’électrocinétique. Enfin, le dernier chapitre présente l’électromagnétisme sous un jour différent, en révélant les liens profonds avec la relativité restreinte.

What You Will Learn!

• Rappel sur les systèmes de Coordonnées
• Calculs des surfaces et volumes élémentaires
• Outils mathématiques : les opérateurs vectoriels Grad Div Rot Lap
• Exemples d'applications

Who Should Attend!

• étudiants en prépa scientifique : MP PSI TSI
• étudiants à l'université

TAKE THIS COURSE